【题目】如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论:①AP⊥BC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC,根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确;根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS,即可判断②正确;根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ,根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB,从而判断出③正确,④由③易证△QPC是等边三角形,得到PQ=PC,等量代换得到BP=PQ,用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP,即可得到④正确.
∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴P在∠A的平分线上.
∵AB=AC,∴AP⊥BC,故①正确;
∵PA=PA,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS,∴AS=AR,故②正确;
∵AQ=PQ,∴∠APQ=∠PAQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,∴PQ∥AR,故③正确;
由③得:△PQC是等边三角形,∴△PQS≌△PCS,∴PQ=PC.
又∵AB=AC,AP⊥BC,∴BP=PC,∴BP=PQ.
∵PR=PS,∴Rt△BRP≌Rt△QSP,故④也正确.
∵①②③④都正确.
故选D.
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【题目】如图,动点在双曲线
上,动点
在双曲线
上,且直线
轴,若点
的坐标是
,点
的横坐标为
.
当
取不同的值时,
的面积________(填“变化”或者“不变化”);
线段
的长可以用
表示为________;
若点
的坐标为
,请问是否存在常数
,使得
的面积等于
?若有,请求出
的值;若没有,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,1),在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P的个数共有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,在平面直角坐标系内,已知点、点
,动点
从点
开始在线段
上以每秒
个单位长度的速度向点
移动,同时动点
从点
开始在线段
上以每秒
个单位长度的速度向点
移动,设点
、
移动的时间为
秒.
求点
的坐标;
当
为何值时,
的面积为
个平方单位?
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【题目】如图,二次函数的图象与
轴的一个交点是
,顶点是
,根据
图象回答下列问题:
当
________时,
随
的增大而增大;
方程
的两个根为________,方程
的根为________;
不等式
的解集为________;
若方程
无解,则
的取值范围为________.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数
的图象与
轴正半轴交于
点.
求证:该二次函数的图象与
轴必有两个交点;
设该二次函数的图象与
轴的两个交点中右侧的交点为点
,若
,将直线
向下平移
个单位得到直线
,求直线
的解析式;
在
的条件下,设
为二次函数图象上的一个动点,当
时,点
关于
轴的对称点都在直线
的下方,求
的取值范围.
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【题目】已知关于x的方程,下列说法正确的是( )
A. 当k=0时,方程没有实数根 B. 当k=1时,方程有一个实数根
C. 当k=-1时,方程有两个相等的实数根 D. 当k≠0时,方程总有两个不相等的实数根
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【题目】如图,点B在线段AC上,点E在线段BD上,∠ABD=∠DBC,AB=DB,EB=CB,M,N分别是AE,CD的中点。试探索BM和BN的关系,并证明你的结论。
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【题目】如图,AB=DB,∠1=∠2,请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△DBE,请问添加下面哪个条件:①BC=BE;②AC=DE;③∠A=∠D;④∠ACB=∠DEB;不能判断△ABC≌△DBE的有______.
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