Question

12．观察下列各等式，并回答问题：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；…
（1）填空：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n为正整数）
（2）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2004×2005}$=$\frac{2004}{2005}$
（3）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）根据题目已知得出相邻整数积的倒数等于两整数的倒数的差，据此即可得；
（2）将原式根据以上规律展开，观察可得除首尾两项外，其他所有项两两抵消，进一步化简计算即可得；
（3）与（2）同理．

解答 解：（1）根据题意可知，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2004×2005}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2004}$-$\frac{1}{2005}$
=1-$\frac{1}{2005}$
=$\frac{2004}{2005}$，
故答案为：$\frac{2004}{2005}$．

（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考数字的变化规律，掌握相邻整数积的倒数等于两整数的倒数的差的规律是关键．