Question

4．如图，正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上，且EB=DF，连接EF，与AD交于点M，与AC交于点N，连接AE、AF．
（1）若AB=2，BE=1，求EF的长度；
（2）如图1，若∠BAE=2∠CFE，求证：FN=NA+NE；
（3）如图2，FP平分∠CFE交AC于点P，PG⊥EF于点G，探究AB、EF、PG之间的关系．（先写出结论，再给出证明过程）

Answer 1

分析 （1）根据正方形ABCD的性质，求得CE=2-1=1，CF=1+2=3，再根据勾股定理在Rt△CEF中，求得EF即可；
（2）先判定△AEF是等腰直角三角形，再在FE上截取FO=EN，判定△AON是等边三角形，最后根据FN=FO+NO，得出FN=NE+NA；
（3）先作PH⊥CD于H，PQ⊥CB于Q，连接PE，判定Rt△PFH≌Rt△PFG（HL），Rt△PEQ≌Rt△PEG（HL），进而得出QE=GE，FH=FG，最后根据EF=FG+GE=FH+QE=（CF-CH）+（CE-CQ）进行推导即可得出结论：EF=2AB-2PG．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，AB=CD=2，BE=DF=1，
∴CE=2-1=1，CF=1+2=3，
∴Rt△CEF中，EF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）∵正方形ABCD中，点F在CD的延长线上，
∴∠ADF=∠B=90°，AD=AB，
又∵EB=DF，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
又∵∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠DAF+∠DAE=90°，即∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
又∵∠ACD=45°，∠CNF=∠ENA，
∴∠CFE=∠EAN，
∴∠BAE=2∠CFE=2∠EAN，
又∵∠BAC=45°，
∴∠EAN=$\frac{1}{3}$∠BAC=15°，
∴∠ANM=∠AEF+∠EAN=45°+15°=60°，
如图1，在FE上截取FO=EN，则△AFO≌△AEN（SAS），
∴AO=AN，
∴△AON是等边三角形，
∴AN=ON，
∵FN=FO+NO，
∴FN=NE+NA；

（3）EF=2AB-2PG．
证明：如图2，作PH⊥CD于H，PQ⊥CB于Q，连接PE，
又∵FP平分∠CFE，PG⊥EF，CP平分∠BCD，
∴PH=PG=PQ=CH=CQ，
又∵PE=PE，PF=PF，
∴Rt△PFH≌Rt△PFG（HL），Rt△PEQ≌Rt△PEG（HL），
∴QE=GE，FH=FG，
∴EF=FG+GE
=FH+QE
=（CF-CH）+（CE-CQ）
=（CD+DF-CH）+（CE-CQ）
=AB+DF-CH+CE-CQ
=AB+DF+CE-2PG
=AB+BE+CE-2PG
=AB+BC-2PG
=2AB-2PG．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，等腰直角三角形以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等边三角形，解题时注意运用线段之间的和差关系进行推导．