分析 (1)联立抛物线y=x2与直线y=-2x-2的解析式,求出点A、B的坐标;两个一次函数联立方程组求得点P坐标;
(2)设A(m,m2),分别过点P、A、B作x轴垂线,垂足分别为点G、E、F,再利用梯形的性质得出B点坐标,代入y=x2求出m的值即可得出A点坐标;
(3)首先设P(a,-2a-2),A(m,m2),再表示出B点坐标,进而利用根的判别式求出,无论a为何值时,关于m的方程总有两个不相等的实数根,进而得出答案.
解答 解:(1)∵点A、B是抛物线y=x2与直线y=-x+2的交点,
∴x2=-x+2,
解得x=-2或x=1.
当x=-2时,y=4;当x=1时,y=1,
∴A(-2,4),B(1,1).
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=6}\end{array}\right.$,
∴点P(-4,6);
(2)设A(m,m2),如图1所示,
分别过点P、A、B作x轴垂线,垂足分别为点G、E、F.
∵PA=AB,
∴AE是梯形PGFB的中位线,
∴GE=EF,AE=$\frac{1}{2}$(PG+BF).
∵OF=|EF-OE|,GE=EF,
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m,EO=-m,
∴OF=|2+m-(-m)|=|2+2m|,
∴OF=2m+2,
∵AE=$\frac{1}{2}$(PG+BF),
∴BF=2AE-PG=2m2-2,
∴B(2+2m,2m2-2).
∵点B在抛物线y=x2上,
∴2m2-2=(2+2m)2
解得:m=1或-3,
当m=-1时,m2=1;当m=-3时,m2=9
故点A的坐标为(-1,1)或(-3,9).
(3)证明:设P(a,-2a-2),A(m,m2).
如图1所示,
分别过点P、A、B作x轴的垂线,垂足分别为点G、E、F.
∵PA=AB,∴AE是梯形PGFB的中位线,
∴GE=EF,AE=$\frac{1}{2}$(PG+BF).
∵OF=|EF-OE|,GE=EF,
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a,EO=-m,
∴OF=|m-a-(-m)|=|2m-a|,
∴OF=2m-a,
∵AE=$\frac{1}{2}$(PG+BF),
∴BF=2AE-PG=2m2+2a+2,
可得:B(2m-a,2m2+2a+2).
∵点B在抛物线y=x2上,
∴2m2+2a+2=(2m-a)2
整理得:2m2-4am+a2-2a-2=0.
△=8(a+1)2+8>0,
∴无论a为何值时,关于m的方程总有两个不相等的实数根.
即对于任意给定的点P,抛物线上总能找到两个满足条件的点A,使得PA=AB成立.
点评 本题考查二次函数综合题,二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形中位线一元二次方程等知识点,有一定的难度.掌握二次函数、一次函数点的坐标特征,正确表示出B点坐标是解题关键.
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