Question

12．?ABCD，点E为BC的中点，点F在CD的延长线上，且AE平分∠BAF．
（1）求证：AF=2AB+DF；
（2）点G为AF的中点，连接DG，GK⊥GD交BC于点K，若CF=BC，∠ABC=60°，AF=14，求KE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，先证明△ABE≌△NCE，再证明FA=FN即可解决问题．
（2）如图2中，延长DG交BA的延长线于点M，连接MC并延长到L使得CL=CD，作FH⊥AD于H，连接KD、KM、KL，先证明△AMG≌△FDG，△KCL≌△KCD，再证明△KDM是等边三角形，最后设AB=a，则DF=AF-2AB=14-2a，∴AD=CF=14-a，DH=7-a，由AF²=AH²+FH²，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，延长AE、FC相交于点N．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DN，
∴∠B=∠ECN，
在△ABE和△HCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECN}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠CEN}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△NCE，
∴CN=AB，∠N=∠BAE=∠FAN，
∴AF=FN=DF+CD+CN=2AB+DF．
（2）解：如图2中，延长DG交BA的延长线于点M，连接MC并延长到L使得CL=CD，作FH⊥AD于H，连接KD、KM、KL，
在△AMG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAG=∠GFD}\\{AG=GF}\\{∠MGA=∠FGD}\end{array}\right.$
∴△AMG≌△FDG，
∴AM=DF，∵CD=AB，
∴BM=CF=BC，∵∠B=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴∠BCD=∠KCL=120°，
在△KCL和△KCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{KC=KC}\\{∠KCL=∠KCD}\\{CL=CD}\end{array}\right.$，
∴△KCL≌△KCD，
∴MG=DG，KL=KD，∠L=∠KDC，∠LKC=∠DKC，
∴KM=KD=KL，
∴∠KMC=∠L=∠KDC，
∴∠DKC+∠KMC=∠LKC+∠L=60°，
∵△BCM是等边三角形，
∴∠BMK+∠KMC=∠BMC=60°，
∴∠BMK=∠DKC，
∴∠MKD=180°-（∠DKC+∠BKM）=180°-（∠BMK+∠BKM）=60°，
∴△KDM是等边三角形，
∴∠BMK+∠KMC=60°=∠KMC+∠CMD，
∴∠BMK=∠CMD，
∴△BMK≌△CMD，
∴BK=CD=AB，设AB=a，则DF=AF-2AB=14-2a，∴AD=CF=14-a，DH=7-a，
由AF²=AH²+FH²，
∴14²=（21-2a）²+[$\sqrt{3}$（7-a）]²，整理得到a²-18a+56=0，
解得a=4或14（不合题意舍弃），
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（14-a）=5，
∴KE=BE-BK=5-a=1．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的思想，用方程的思想去思考问题，题目比较难．