Question

已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N，如图．

(1)求证：MD＝MN；

(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如下图，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)取AD的中点P，连接PM． 　　∵四边形ABCD是正方形，∠A＝，AD＝AB， 　　∴∠ADM＋∠DMA＝． 　　又∵MN⊥MD，∴∠DMA＋∠BMN＝，∴∠ADM＝∠BMN． 　　又AP＝AM，∴∠APM＝∠AMP＝，∠DPM＝． 　　且BN平分∠CBE，∴∠EBN＝，∴∠MBN＝，∴∠MBN＝∠DPM． 　　又DP＝BM＝AB，∴△DPM≌△MBN，∴DM＝MN． 　　(2)同上可证MD＝MN仍成立，证明过程中只是由AP＝AM可知DP＝BM，可证得△DPM≌△MBN． 　　分析(1)在图中，由于M是AB的中点，若取P为AD的中点，可看到△DMP≌△MNB，从而MD＝MN． 　　(2)当M为AB上任意一点时，若在AD上取AP＝AM，则可以证得△DMP≌△MNB，同样可以证得MD＝MN．