Question

15．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，连接BE，F为BE的中点，连接DF，CF．
（1）如图①，当边AD与边AB重合时，求证：DF=CF，DF⊥CF；
（2）将△ADE绕A点旋转到如图②位置时，（1）中的结论还成立吗，判断并说明理由；
（3）如图③，若∠BAE=135°，AC=2$\sqrt{2}$，AD=1，则CF的长为$\frac{\sqrt{10}}{2}$（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，进而得出DF⊥BF；
（2）先过B作BG∥ED，交DF的延长线于G，连接CG，CD，则∠DEF=∠GBF，根据ASA判定△DEF≌△GBF，进而得出DE=GB=AD，且DF=GF，再根据角的和差关系得到∠DAC=∠CBG，进而判定△ACD≌△BCG（SAS），从而得出CD=CG，∠BCG=∠ACD，最后判定△CDG是等腰直角三角形，根据F是DG的中点，即可得出CF=$\frac{1}{2}$DG=DF，CF⊥DF；
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2$\sqrt{2}$，可以求出AB的值为4，进而可以根据勾股定理可以求出DH为$\sqrt{10}$，再求出DF，由DF=CF，即可求得CF的值．

解答 解：（1）如图1，∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理，∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF；

（2）DF=CF，DF⊥CF仍成立．
理由：如图2，过B作BG∥ED，交DF的延长线于G，连接CG，CD，则∠DEF=∠GBF，
∵点F为BE的中点，
∴BF=EF，
在△DEF和△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠GBF}\\{EF=BF}\\{∠DFE=∠GFB}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△GBF（ASA），
∴DE=GB=AD，且DF=GF，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵△ABE中，∠BAE=180°-∠AEB-∠ABE，而∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠DAC=∠BAE-∠BAC-∠EAD=（180°-∠AEB-∠ABE）-45°-45°=90°-∠AEB-∠ABE，
又∵∠ABE=∠ABC-CBE=45°-∠CBE，
∠AEB=∠AED-∠DEB=45°-∠DEB，
∴∠DAC=90°-（45°-∠DEB）-（45°-∠CBE）=∠DEB+∠CBE=∠GBE+∠CBE=∠CBG，
在△ACD和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BG}\\{∠DAC=∠GBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCG（SAS），
∴CD=CG，∠BCG=∠ACD，
又∵∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ACD+∠ACG=90°，
∴∠DCG=90°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∵F是DG的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$DG=DF，CF⊥DF；

（3）如图3所示，延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°，
∵∠BAE=135°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，且∠BAD=90°，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF，
∵F是BE的中点，
∴EF=BF，
在△DEF和△HBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠HBF}\\{∠DFE=∠HFB}\\{EF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△HBF（AAS），
∴ED=HB，DF=HF，
∵AC=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=4，
∵AD=1，
∴ED=BH=1，
∴AH=3，
在Rt△HAD中，由勾股定理得DH=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$，
同理可得CF=DF，
∴CF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的运用．解题时需要作辅助线，构造全等三角形以及等腰直角三角形，运用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质及其判定定理是解题的关键．