Question

如图，正方形ABCD中，M为BD上一点，N为BC上一点，AM=MN，NP⊥BD于P．
（1）求证：AM⊥MN；
（2）求证：MP=

1

2

BD；
（3）探究：AB、BN、BM之间的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：（1）过M作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，证出Rt△AEM≌Rt△NFM，推出∠AME=∠FMN，求出∠AMN=90°即可；
（2）连接AC交BD于O，求出∠AMN=∠AOD=90°，推出∠MAO=∠NMP，求出∠NPM=∠AOM=90°，求出△AOM≌△MPN，推出MP=AO即可；
（3）过点M作MF垂直BC于F，ME⊥AB于E，连接CM，证出△ABM≌△CBM，推出AM=CM，求出BF=FM，在Rt△BFM中，由勾股定理得出BM=

2

BF，即可得出答案．

解答：证明：（1）
过M作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，
则∠AEM=∠MFN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=45°，
∴∠FMB=45°=∠CBD，
∴BF=MF，
∵∠EBN=∠BFM=∠BEM=90°，BF=FM，
∴四边形EBFM是正方形，
∴ME=MF，∠EMF=90°，
在Rt△AEM和Rt△NFM中

AM=MN ME=MF

∴Rt△AEM≌Rt△NFM（HL），
∴∠AME=∠FMN，
∴∠AMN=∠AME+∠EMN=∠FMN+∠EMN=∠EMF=90°，
∴AM⊥MN；

（2）
连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2AO，AC⊥BD，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMN=∠AOD=90°，
∴∠MAO+∠AMO=90°，∠AMO+∠NMP=90°，
∴∠MAO=∠NMP，
∵NP⊥BD，
∴∠NPM=∠AOM=90°，
在△AOM和△MPN中，

∠MAO=∠NMP ∠AOM=∠MPN AM=MN

，
∴△AOM≌△MPN（AAS），
∴MP=AO，
∴MP=

1

2

BD；

（3）BM=

2

2

AB+

2

2

BN，

证明：过点M作MF垂直BC于F，ME⊥AB于E，连接CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，

AB=BC ∠ABM=∠CBM BM=BM

，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，
∵AM=MN，
∴MN=CM，
∵MF⊥BC，
∴NF=CF，∠MFN=90°，
∵∠DBC=45°，
∴BF=FM，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：BM=

2

BF，
即BM=

2

（BC-FC）=

2

[BC-

1

2

（BC-BN）]=

2

2

BC+

2

2

BN．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．