Question

7．如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据三角形的中位线定理得出EF=$\frac{1}{2}$DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值．

解答 解：连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，
∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=$\frac{1}{2}$DN，
∴DN最大时，EF最大，
∴N与B重合时DN=DB最大，
在Rt△ADH中，
∵∠A=60°
∴DH=ADsin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，AH=ADcos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴BH=AB-AH=3-1=2，
∴DB=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{3+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴EF_max=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴EF的最大值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：A．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．