Question

附加题：如图，正方形ABCD正方形ABCD中，BD是对角线，E、F点分别在BC、CD边上，且△AEF是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点D作DG⊥BD交BC延长线于点G，在DB上截取DH=DA，连接HG．请你参考下面方框中的方法指导，证明：GH=GE．

Answer 1

分析：（1）根据HL证明△ABE≌△ADF．
（2）设EC、BE分别为x、y，根据△ABE≌△ADF得出DF=BE、FC=EC；GE=BG-EG，进而用x、y代数式表示出GE²，在Rt△DHG中用x、y的代数式表示出GH²，将表示GE²与GH²的代数式进行整理得出GE=GH．

解答：证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=AD．
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF．
∴△ABE≌△ADF．

（2）设EC=x，BE=y，那么AB=DA=x+y，
∵△ABE≌△ADF，
∴DF=BE．
∴FC=EC．
GE²=（BG-BE）²=（2x+y）²=4x²+4xy+y²=3x²+x²+4xy+y²①
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴EF=AE=

2

x，
∵∠BDG=90°，∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰Rt△，
在Rt△DHG中，GH²=3DA²=3x²+6xy+3y²
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
2x²=（x+y）²+y²，即x²=2xy+2y²②
将②代入①即得：GE²=3x²+6xy+3y²
∴GH=GE．

点评：本题首先计算得出两线段的平方相等，从而得出两线段相等，这是利用代数方法证明几何问题的一个典型例子．