Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=ax+b的图象分别与x，y轴交于点B，A，与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当x＜0且y₁＜y₂时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由OB的长度可得出点B的坐标，结合tan∠ABO=$\frac{1}{2}$可得出OA的长度，进而得出点A的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；由OB、OE的长度可得出BE的长度，结合tan∠ABO=$\frac{1}{2}$可得出CE的长度，进而得出点C的坐标，根据点C的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的解析式；
（2）观察函数图象的上下位置关系，即可得出当x＜0且y₁＜y₂时x的取值范围．

解答 解：（1）∵OB=4，
∴B（4，0）．
∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=2，
∴A（0，2）．
将点A（0，2）、B（4，0）代入y₁=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y₁=-$\frac{1}{2}$x+2．
∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，
∴tan∠ABO=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=3，
∴点C的坐标为（-2，3）．
将点C（-2，3）代入y₂=$\frac{m}{x}$，
3=$\frac{m}{-2}$，解得：m=-6，
∴反比例函数的解析式为y₂=-$\frac{6}{x}$．
（2）观察函数图象可知，当-2＜x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当x＜0且y₁＜y₂时x的取值范围为-2＜x＜0．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解直角三角形以及待定系数法求一次（反比例）函数解析式，解题的关键是：（1）通过解直角三角形找出点A、C的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．