Question

8．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）是否存在x，使y等于S_△ABC的四分之一？如果存在，请直接写出x的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先连接AP，交MN于O，由MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得△AMN∽△ABC，$\frac{MN}{BC}=\frac{AO}{AP}=\frac{1}{2}$，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；
（2）此题需要分为当AO≤$\frac{1}{2}$AD时与当AO＞$\frac{1}{2}$AD时去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各线段的长，然后求△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案；
（3）由（2）所得函数关系列方程求解即可．

解答 解：（1）连接AP，交MN于O，
∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AO}{AP}=\frac{1}{2}$，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；
（2）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O
∵MN∥BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AO}{AD}$，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD=4，
∴$\frac{x}{6}=\frac{AO}{4}$，
∴AO=$\frac{2}{3}$x，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$MN•AO=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{2}{3}$x=$\frac{1}{3}$x²，
当AO≤$\frac{1}{2}$AD时，
根据题意得：S_△PMN=S_△AMN，
∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S_△AMN，
∴y=$\frac{1}{3}$x²，
∴当AO=$\frac{1}{2}$AD时，即MN=$\frac{1}{2}$BC=3时，y最大，最大值为3；
当AO＞$\frac{1}{2}$AD时，
连接AP交MN于O，
则AO⊥MN，
∵MN∥BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{MN}{BC}$，$\frac{EF}{MN}=\frac{PD}{PO}$，即：$\frac{AO}{4}=\frac{x}{6}$，$\frac{EF}{x}=\frac{PD}{AO}$，
∴AO=$\frac{2}{3}$x，
∴$\frac{EF}{x}=\frac{2AO-AD}{AO}$，
∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-$\frac{2}{3}$x，
∴y=S_梯形MNFE=$\frac{1}{2}$（EF+MN）•OD=$\frac{1}{2}$×（2x-6+x）×（4-$\frac{2}{3}$x）=-（x-4）²+4，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4，
综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4．
（3）由（2）知，当AO≤$\frac{1}{2}$AD时，
∴y=$\frac{1}{3}$x²；当AO＞$\frac{1}{2}$AD时，y=-（x-4）²+4，
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵y等于S_△ABC的四分之一，
∴$\frac{1}{3}$x²=12×$\frac{1}{4}$或-（x-4）²+4=12×$\frac{1}{4}$，
解得：x=3或x=5，
所以，存在x，使y等于S_△ABC的四分之一，x=3或x=5．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．