Question

16．如图，等边△ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF．
（1）证明：△DEF是等边三角形；
（2）在运动过程中
①若△CEF是等边三角形，试求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$的值；
②试问△CEF有可能是直角三角形吗？若有，请求出$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得△DEF是等边三角形；
（2）①根据等边三角形得：DE、EF、DF是中位线，由中位线定理得两三角形相似，其相似比为1：2，则面积比为1：4；
②分两种情况：当∠EFC=90°时，如图3，∠FEC=30°，当∠CEF=90°时，如图4，由△ABC和△DEF是等边三角形，得出△DEF∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，
∵AD=BE=CF，
∴BD=EC=AF，
在△ADF、△BED和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE=CF}\\{∠A=∠B=∠C}\\{BD=CE=AF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形；
解：（2）有，
①如图2，∵△CEF是等边三角形，
∴EC=FC=EF，
∵AD=BE=CF，
∴D、E、F分别是三边的中点，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴△DEF∽△BCA，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$；
②∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
当∠EFC=90°时，∠FEC=30°，
∵∠DEF=60°，
∴DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，即BE=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{2}{3}$BC，
∵EF=EC•sin60°=$\frac{2}{3}BC$$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}BC$，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$．
当∠CEF=90°时，如图4，同理可得：$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质和判定、三角形中位线定理、三角形相似的性质和判定以及动点运动问题，熟知三个动点同时同速度时，路程相等，并知道等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．