Question

4．已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数得到图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象讨论直线y=$\frac{1}{2}$x+b（b＜k）与此图象交点个数，并求出相应的b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式△=24-8k≥0结合k为正整数即可得出k的值；
（2）根据方程有两个非零的整数根即可得出k的值，将其代入二次函数解析式中再根据平移的性质找出平移后的函数图象的解析式；
（3）根据函数解析式画出函数图象，通过移动直线y=$\frac{1}{2}$x+b图象寻找交点个数与b之间的关系，此题得解．

解答 解：（1）∵方程2x²+4x+k-1=0有实数根，
∴△=4²-4×2×（k-1）=24-8k≥0，
∴k≤3．
∵k为正整数，
∴k的值为1，2，3．
（2）∵方程有两个整数根，
∴△=24-8k为正整数的平方数，
∵k=1，2，3，
∴k=1，3．
当k=1时，方程为2x²+4x=0，其中一根为0，
∴k=1舍去；
当k=3时，方程为2x²+4x+2=0，解得：x=-1．
∴关于x的二次函数解析式为y=2x²+4x+2．
根据平移的性质即可得出平移后图象的解析式为y=2x²+4x+2-8=2x²+4x-6．
（3）依照题意画出图形，如图所示．
令y=0，则2x²+4x-6=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
∴该抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0）．
当点（-3，0）在直线y=$\frac{1}{2}$x+b上时，有0=-$\frac{3}{2}$+b，
解得：b=$\frac{3}{2}$；
当点（1，0）在直线y=$\frac{1}{2}$x+b上时，有0=$\frac{1}{2}$+b，
解得：b=-$\frac{1}{2}$．
结合函数图象可得出：当交点个数为0个时，b＜-$\frac{1}{2}$；当交点个数为1个时，b=-$\frac{1}{2}$；当交点个数为2个时，-$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{3}{2}$；当交点个数为3个时，b=$\frac{3}{2}$；当交点个数为4个时，$\frac{3}{2}$＜b＜3．

点评 本题考查了根的判别式、平移的性质以及解一元二次方程，根据函数的解析式画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．