Question

18．已知关于x的一元二次方程x²+3x+m-1=0有两个实数根x₁、x₂，
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得2（x₁+x₂）+10+x₁x₂=0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程x²+3x+m-1=0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到△=b²-4ac≥0，即3²-4（m-1）≥0，解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系x₁+x₂=-3，x₁x₂=m-1，再利用2（x₁+x₂）+10+x₁x₂=0成立求出m的值即可．

解答 解：（2）∵一元二次方程x²+3x+m-1=0有两个实数根x₁、x₂，
∵△=b²-4ac≥0，
即3²-4（m-1）≥0，
解得m≤$\frac{13}{4}$．
所以实数m的取值范围为m≤$\frac{13}{4}$；

（2）存在m的值，使得2（x₁+x₂）+10+x₁x₂=0成立成立．理由如下：
∵x₁、x₂是一元二次方程x²+3x+m-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=m-1，
∴2（x₁+x₂）+10+x₁x₂=2（-3）+10+（m-1），若2（x₁+x₂）+10+x₁x₂=0成立，则m+3=0，
解上述方程得，m=-3．
∵（1）中m≤$\frac{13}{4}$，（2）中m=-3，
∴存在m的值，使得2（x₁+x₂）+10+x₁x₂=0成立．

点评 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．