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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,AD1AB3,∠DAB60°,点E为边CD上一动点,过点CAE的垂线交AE的延长线于点F

1)求∠D的度数;

2)若点ECD的中点,求EF的值;

3)当点E在线段CD上运动时,是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】1)∠ADC120°;(2EF,(3)有最大值,最大值为:

【解析】

1)由四边形ABCD是平行四边形,得ABCB,进而即可得到答案;

2)作AHCDCD的延长线于H,由在Rt△ADH中,∠H90°,∠ADH60°,得ADH,结合勾股定理得AE,易证△AEH∽△CEF,得,进而即可求解;

3)作AFC的外接圆⊙O,作AHCDCD的延长线于H,作OKCDK,交⊙OM,作FPCDAD的延长线于P,作MNCDAD的延长线于NNQCDQ.易得PA的值最大时,的值最大,PA的值最大=AN的长,根据勾股定理和三角函数的定义得DN,从而得ANAD+DN,进而即可得到答案.

1)∵四边形ABCD是平行四边形,

ABCB

∴∠ADC+DAB180°,

∵∠DAB60°,

∴∠ADC120°.

2)作AHCDCD的延长线于H,如图1

∵在Rt△ADH中,∠H90°,∠ADH60°,AD2

AHADsin60°=DHADcos60°=

DEEC

EHDH+DE2

AE

CFAF

∴∠F=∠H90°,

∵∠AEH=∠CEF

∴△AEH∽△CEF

EF

3)如图2中,作AFC的外接圆⊙O,作AHCDCD的延长线于H,作OKCDK,交⊙OM,作FPCDAD的延长线于P,作MNCDAD的延长线于NNQCDQ

DEPF

AD是定值,

PA的值最大时,的值最大,

观察图形可知,当点F与点M重合时,PA的值最大,最大值=AN的长,

由(2)可知,AHCH,∠H90°,

AC

OMAC

OKAHAOOC

KHKC

OK

MKNQ

Rt△NDQ中,DN

ANAD+DN

的最大值=

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