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9.如图所示,轮船由A处以每小时28海里的速度向正北方向航行,此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上(即∠BAM=30°).半小时后,轮船航行到B处,此时测得灯塔M在北偏东60°的方向(即∠DBM=60°).
(1)求此时轮船与灯塔M的距离是多少?
(2)已知MD⊥AD,AD=21海里,当轮船从B处继续往正北方向航行时,经过多久轮船距离灯塔M最近?
(3)当轮船从B处继续向正北方向航行,又经半小时后到达C处,问此时轮船与灯塔M的距离又是多少?灯塔M在轮船的什么方向上?

分析 (1)由题意得,AB=28×0.5=14,∠BAM=30°,∠DBM=60°,根据三角形外角的性质得到∠BMA=∠DBM-∠BAM=30°,根据等腰三角形的判定即可得到结论;
(2)由题意得到轮船到达D距离灯塔M最近,列式即可得到结论;
(3)根据三角函数的定义得到DM=7$\sqrt{3}$,根据勾股定理得到CM=$\sqrt{D{C}^{2}+D{M}^{2}}$=7$\sqrt{2}$海里,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

解答 解:(1)由题意得,AB=28×0.5=14,∠BAM=30°,∠DBM=60°,
∴∠BMA=∠DBM-∠BAM=30°,
∴BM=AB=14,
∴此时轮船与灯塔M的距离是14海里;
(2)∵MD⊥AD,
∴轮船到达D距离灯塔M最近,
∵AD=21,
∴AD-AB=7,
∵7÷28=$\frac{1}{4}$,
∴经过$\frac{1}{4}$小时轮船距离灯塔M最近;
(3)∵∠ADM=90°,
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵AD=21,
∴DM=7$\sqrt{3}$,
∵BC=28×0.5=14,
∴DC=7,
∴CM=$\sqrt{D{C}^{2}+D{M}^{2}}$=7$\sqrt{2}$海里,
∴此时轮船与灯塔M的距离是7$\sqrt{2}$海里;
∵DM=DC,
∴∠DCM=45°,
∴灯塔M在轮船的东南方向上.

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,三角形外角的性质,等腰三角形的判定,正确理解方向角的定义是解题的关键.

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