Question

关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ②
tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）=

tan45°+tan60°

1-tan45°•tan60°

=

1+ 3

1-1• 3

=

(1+ 3 )(1+ 3 )

(1- 3 )(1+ 3 )

=-（2+

3

）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．

Answer 1

分析：先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD的长由二者相减即可求得．

解答：解：由于α=60°，β=75°，BC=42，
则AB=BC•tanβ=42tan75°=42•

tan45°+tan30°

1-tan45°•tan30°

=42•

1+ 3 3

1- 3 3

=42（

3

+2），
A、D垂直距离为BC•tanα=42

3

，
∴CD=AB-42

3

=84（米）．
答：建筑物CD的高为84米．

点评：本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．