Question

如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H．
（1）求证：CF=2DH；
（2）若AB=BC，cos∠BCA=，DE=4，求HD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AF的中点M，连接MD，根据三角形的中位线定理可得CF=2MD且MD∥BC，再根据角平分线的定义与垂直的定义求出∠BHG=∠BFH，根据两直线平行，内错角相等可得∠DMH=∠BFH，然后求出∠DMH=∠DHM，根据等角对等边的性质可得DH=DM，然后即可得证；
（2）过E作EN⊥BC于N，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EN=DE=4，再根据∠BCA的余弦值求出CE、CD的值，以及BC、BD的值，再根据∠BHG=∠BFH利用等角对等边的性质求出BH=BF，然后设DH=x，用x表示出BH、BF，列出方程求解即可．
解答：（1）证明：取AF的中点M，连接MD，
∵AD=DC，
∴CF=2MD，且MD∥BC，
∴∠DMH=∠BFH，
又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG，
∴∠BHG=∠BFH，
而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，
∴∠DMH=∠DHM，
∴DH=DM．而CF=2MD，
∴CF=2DH；

（2）解：过E作EN⊥BC于N，
∵AB=BC，AD=DC，
∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC，
∴EN=DE=4，
在Rt△CEN中，cos∠BCA==，
∴设CN=3k，则CE=5k，得EN=4k=4．
∴k=1，CE=5，CD=9，
在Rt△BCD中，cos∠BCA==，
∴BC=15，BD=12，
又∵∠BHG=∠BFH，
∴BH=BF，
设DH=x，则FC=2x，BH=12-x，BF=15-2x．
由12-x=15-2x，得x=3，
∴HD=3．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，以及解直角三角形，题目比较复杂，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．