Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=BC=CD=4，AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=120°．△AEF为等边三角形，点E，F分别在BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合，
（1）求证：不论点E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时．分别判断四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化．

Answer 1

分析 （1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠3=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根据S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．

解答 （1）证明：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠2+∠EAC=60°，
∴∠1=∠2，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠3=60°，AC=AB，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AB=AC}\\{∠ABC=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；

（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S_{四边形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化．
S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．