Question

17．如图在△ABC中，D为边AB上一点，且AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，求证：CD⊥AB．

Answer 1

分析 根据AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，即可得出△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，进而即可得出∠ADC=∠ACB、∠BDC=∠BCA，再由点D为边AB上一点即可得出∠ADC+∠BDC=180°，∠ADC=∠BDC=90°，此题得证．

解答 解：∵AC²=AD•AB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB．
∵BC²=BD•AB，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
∴△BDC∽△BCA，
∴∠BDC=∠BCA．
∴∠ADC=∠BDC．
∵点D为边AB上一点，
∴∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴CD⊥AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出∠ADC=∠BDC=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两三角形边与边之间的关系找出两三角形相似是关键．