Question

（2013•十堰模拟）如图，矩形OABC绕点O逆时针旋转90°得，矩形OA′B′C′，已知OA=1，AB=3，抛物线y=x²+bx+c过点A，C′，与y轴相交于点D．
（1）求抛物线解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使PC+PB′最小？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）设M为x轴一动点，点M从点A出发沿x轴负半轴方向以1个单位/秒运动，多少秒后△MAD是等腰三角形？并求点M坐标．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质和矩形的性质可得OC′=OC=AB=3，求得点C′的坐标，再将点A，C′的坐标代入y=x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作点B′关于x轴的对称点B″，连接B″C，交x轴于点P，此时PC+PB′最小．运用待定系数法求出直线B″C的解析式，进而得到直线B″C与x轴的交点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（x，0），当△MAD是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①MA=MD；②AM=AD；③DM=DA．

解答：解：（1）∵OA=1，∴A（1，0）．
∵矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转90°得矩形OA′B′C′，
∴OC′=OC=AB=3，
∴C′（-3，0）．
将点A（1，0），C′（-3，0）代入y=x²+bx+c，
得

1+b+c=0 9-3b+c=0

，解得

b=2 c=-3

，
∴抛物线解析式为y=x²+2x-3；

（2）作点B′关于x轴的对称点B″，连接B″C，交x轴于点P，此时PC+PB′=PC+PB″=B″C，值最小．
∵B′（-3，1）关于x轴的对称点为B″，
∴B″（-3，-1）．
设直线B″C的解析式为y=kx+m，
∵B″（-3，-1），C（0，3），
∴

-3k+m=-1 m=3

，解得

k= 4 3 m=3

，
∴直线B″C的解析式为y=

4

3

x+3，
当y=0时，

4

3

x+3=0，
解得x=-

9

4

，
∴点P的坐标为（-

9

4

，0）；

（3）设点M的坐标为（x，0），则x＜1．
∵抛物线y=x²+2x-3与y轴相交于点D，
∴D（0，-3）．
当△MAD是等腰三角形时，分三种情况：
①如果MA=MD，那么（x-1）²=x²+3²；解得x=-4，
∴OM=4，AM=AO+OM=1+4=5，
∴M点运动时间为5÷1=5（秒）；
②如果AM=AD，那么（x-1）²=1²+3²；解得x=1±

10

，
∵x＜1，
∴x=1+

10

不合题意舍去，即x=1-

10

，
∴OM=

10

-1，AM=AO+OM=1+

10

-1=

10

，
∴M点运动时间为

10

÷1=

10

（秒）；
③如果DM=DA，那么M与A关于y轴对称，
∴OM=OA=1，AM=AO+OM=1+1=2，
∴M点运动时间为2÷1=2（秒）；
综上所述，5秒

10

秒或2秒后△MAD是等腰三角形，此时点M的坐标为（-4，0）或（1-

10

，0）或（-1，0）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到矩形的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，旋转的性质，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等知识．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．