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如图,在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,∠ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点,连接EF.
(1)求BF的长度;
(2)求证:四边形ABEF是正方形;
(3)设点P是线段BF上的一个动点,点N是矩形ABCD的对称中心,是否存在点P,使∠APN=90°?若存在,请直接写出BP的长度;若不存在请说明理由.
分析:(1)根据矩形的四个角都是直角以及角平分线的定义可得∠ABF=∠EBF=45°,从而判定△ABF是等腰直角三角形,然后利用勾股定理求解即可;
(2)先求出BE的长度,然后判定四边形ABEF是矩形,再根据邻边相等的矩形是正方形证明即可;
(3)根据矩形的性质可得点N是EF的中点,从而求出NE的长度,过点P作BC的平行线交AB于G,交EF于H,根据∠ABF=45°可得BG=PG=EH,再设BG=x,然后表示出AG、PG、PH、HN,再根据∠APN=90°利用同角的余角相等求出∠PAG=∠NPH,然后证明△APG和△PNH相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出x的值,再利用勾股定理求解即可.
解答:(1)解:在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠EBF=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∵AB=1,
∴BF=
AB2+AF2
=
12+12
=
2


(2)证明:∵BC=2,E为BC的中点,
∴BE=
1
2
BC=
1
2
×2=1,
∴AF=BE,
又∵在矩形ABCD中,AF∥BE,∠A=∠ABC=90°,
∴四边形ABEF是矩形,
∵AB=BE=1,
∴四边形ABEF是正方形(邻边相等的矩形是正方形);

(3)存在.理由如下:
∵矩形ABCD的AB=1,BC=2,AF=BE=1,
∴矩形的中心在EF上,且是EF的中点,
∴NE=
1
2
EF=
1
2

过点P作BC的平行线交AB于G,交EF于H,
∵∠ABF=∠EBF=45°,
∴BG=PG=EH,
设BG=x,则AG=1-x,PG=x,PH=1-x,NH=
1
2
-x,
∵∠APN=90°,
∴∠APG+∠NPH=180°-90°=90°,
又∵∠APG+∠PAG=90°,
∴∠PAG=∠NPH,
又∵∠AGP=∠PHN=90°,
∴△APG∽△PNH,
AG
PH
=
PG
NH

1-x
1-x
=
x
1
2
-x

解得x=
1
4

所以,BP=
BG2+PG2
=
(
1
4
)
2
+(
1
4
)
2
=
2
4
点评:本题考查了矩形的性质,正方形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用,以及相似三角形的判定与性质,(3)作出辅助线,构造出相似三角形是解题的关键.
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