Question

（2012•株洲）如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．
求证：（1）BD=CD；
（2）△AOC≌△CDB．

Answer 1

分析：（1）由AD为⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACD=90°，又由∠A=30°，OA=OC=OD，利用等边对等角与三角形外角的性质，即可求得∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，又由BC与⊙O切于C点，根据切线的性质，即可求得∠B=∠BCD=30°，由等角对等边，即可证得BD=CD；
（2）由（1）可知∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，即可得AC=BC，然后由ASA，即可证得△AOC≌△CDB．

解答：证明：（1）∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
又∵∠A=30°，OA=OC=OD，
∴∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，-----------------------------（1分）
又∵BC与⊙o切于C，
∴∠OCB=90°，------------------------------------------（2分）
∴∠BCD=30°，
∴∠B=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD．--------------------------------------------（4分）

（2）∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，----------------------------（6分）
∴AC=BC，-----------------------------------------------（7分）
在△AOC和△BDC中，

∠A=∠B AC=BC ∠ACO=∠BCD

∴△AOC≌△BDC（ASA）．--------------------------------------------------------（8分）

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．