Question

16．如图以正方形ABCD的B点为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立直角坐标系．设正方形ABCD的边长为4，顺次连接OA、OB、OC、OD的中点A₁、B₁、C₁、D₁，得到正方形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中点得到正方形A₂B₂C₂D₂，按以上方法依次得到正方形A₃B₃C₃D₃，…A_nB_nC_nD_n（n为不小于1的自然数），设A_n点的坐标（x_n，y_n），则x_n+y_n=4．

Answer 1

分析 由题意可得A_n点的坐标（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$），继而求得答案．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴点A的坐标为：（0，4），点O的坐标为（2，2），
∵顺次连接OA、OB、OC、OD的中点A₁、B₁、C₁、D₁，
∴A₁点的坐标为（1，3），
则A₂点的坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），A₃点的坐标（$\frac{7}{4}$，$\frac{9}{4}$），A₄点的坐标（$\frac{15}{8}$，$\frac{17}{8}$），
∴A_n点的坐标（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$），
∴x_n+y_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$=4．
故答案为：4．

点评 此题考查了中点四边形的性质．注意根据题意得到A_n点的坐标（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$）是关键．