Question

如图1，已知BC是圆O的直径，线段RQ∥BC，A是RQ上的任意一点，AF与圆O相切于点F，连接AB与圆O相交于点M，D是AB上一点，AD=AF，DE垂直于AB并与AC的延长线交于点E．
（1）当点A处于图2中A₀的位置时，A₀C与圆O相切于点C，求证：△A₀DE≌△A₀CB；
（2）当点A处于图3中A₁的位置时，A₁F：A₁E=1：2，．求角BCA₁的大小；
（3）图1中，若BC=4，RQ与BC的距离为3，那么△ADE的面积S与点A的位置有没有关系，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵A₀F、A₀C都是圆的切线，
∴A₀F=A₀C，
又∵A₀F=A₀D，∴A₀C=A₀D；
∵∠DA₀E=∠CA₀B，∠EDA₀=∠BCA₀=90°，
∴△A₀DE≌△A₀CB．

（2）解：连接CM，则CM⊥A₁B；
∵A₁F=A₁D，且A₁F：A₁E=1：2，
∴A₁D：A₁E=1：2，即∠MA₁C=60°，∠A₁CM=30°；
设A₁C=x，则CM=x，BC=x；
在Rt△BCM中，BC：CM=x：x=：1，
∴∠BCM=45°，
∴∠BCA₁=∠BCM+∠A₁CM=75°．

（3）解：①当AE与圆相切时，由（1）可知：△ADE≌△ACB，
此时S_△ADE=S_△ABC；

②当AE与圆相交时，设AE与圆的另一个交点为N，连接BN，CM；
由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切线长定理：AF²=AM×AB，
得：AM：AF=AF：AB，
∴CM：DE=AF：AB，
∴AF•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC=S_△ABC，
由于A点在平行于AB的直线上运动，因此△ABC的面积为定值，且S_△ABC=×4×3=6；
故△ADE的面积S与A的位置无关，且恒为6．
分析：（1）由于A₀F、A₀C都是圆的切线，由切线长定理知：A₀F=A₀C，由此可得A₀D=A₀C，再加上公共角∠BA₀E、一组直角，即可证得所求的三角形全等．
（2）连接CM，则CM⊥A₁B，已知A₁F：A₁E=1：2，即A₁D：A₁E=1：2，由此可求得∠DA₁E=60°，∠A₁CM=30°；首先用未知数表示出A₁C、BC的长，在Rt△A₁CM中，根据∠MA₁C的度数可表示出CM的值，进而可在Rt△BCM中，根据CM、BC的值求出∠BCM的度数，由此得解．
（3）此题应分两种情况讨论：
①如图2的情况，即AE与圆相切，此时△ABC≌△ADE，因此△ADE的面积等于△ABC的面积；
②如图1、3的情况，即AE与圆相交，设AE与圆的另一个交点为N，连接BN、CM，由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切线长定理：AF²=AM×AB，由于A点在直线PQ上运动，所以△ABC的面积是不变的，因此△ADE的面积也不变，即S与A的位置无关．
点评：此题主要考查了切线的性质、相似三角形以及全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识，难度较大．