Question

1．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，直线l经过点A且绕点A在△ABC所在平面内转动，作BD⊥l，CE⊥l，D、E为垂足．
（1）如图a，求证：DA+DB=2DE；
（2）在图b和图c中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立？直接写出DE、DA、DB三条线段的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图a中，在l上截取FA=DB，连接CD、CF．只要证明△CBD≌△CAF，△DCF是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）在图b，c，（1）的结论不成立，图b，结论：DA-DB=2DE．图c，结论：DB-DA=2DE．证明方法类似（1）．

解答 （1）证明：如图a中，在l上截取FA=DB，连接CD、CF．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD⊥l
∴AC=BC，∠BDA=90°，
∴∠CBD+∠CAD=360°-∠BDA-∠ACB=360°-90°-90°=180°
∵∠CAF+∠CAD=180°
∴∠CBD=∠CAF，
在△CBD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠CBD=∠CAF}\\{BD=AF}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAF（SAS），
∴CD=CF，
∵CE⊥l，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$（DA+FA）=$\frac{1}{2}$（DA+DB），
∴DA+DB=2DE，

（2）在图b，c，（1）的结论不成立，
图b，结论：DA-DB=2DE．

截取AF=BD，证明方法类似（1）
图c，结论：DB-DA=2DE．

在AF=BD，证明方法类似（1）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．