Question

如图，在平面直角坐标系中，∆ABO中，∠AOB=90°,∠ABO=45°,OB=12cm，

O为坐标原点，直线OB为x轴，矩形DEFG的长DE=12cm, 宽EF=6cm，以DE为直径在矩形内作半圆O1，矩形及半圆O1整体以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在x轴上，设运动时间为x（s），矩形和∆ABO的重叠部分的面积为S(cm2).当x=0(s)时，点E与点O重合（如图1）(图（2）、图（3）、图（4）供操作用).

（1）当x=3时，求直线AG的解析式；

（2）当0<x<9时,求S关于x的函数关系式；

（3）当x为何值时，∆ ABC的斜边所在的直线与半圆O1所在的圆相切？

 

 

Answer 1

（1）y=x+12

（2）当0<x≤3时，S=12x;

当3<x≤6时设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AO的交点为M.

BE＝12－2x，AM＝12－6＝6

∴S＝S∆ABO -S∆AMN -S∆BHE   ＝×12×12－×6×6－×（12－2x）2    ＝－2x2 +24x-18

当6<x≤9时，设矩形DEFG与斜边AB的交点为M，延长FG交AO于点H

AH＝12－6＝6,HG＝2x－12

∴S＝S∆ABO-S∆AHM-S矩形HCDG ＝ ×12×12－×6×6－×6×（2x－12）＝－12x＋126，所以， 当6<x<9时,S＝－12x＋126

（3）①过点O作OD⊥AB于点D，由题意得OD＝6，∵∠ABO=45°,∠ODB=90°

∴OB==6，∴x1＝

②过点O作OE⊥AB，交AB的延长线于点E，由题意得OE＝6

∵∠OBE=45°,∠OEB=90°，∴OB==6，

∴x2＝，

故当x等于（9－）秒或（9＋）秒时，△ABO的斜边所在的直线与半圆O1所在的圆相切.