【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B(4,0),与过A点的直线相交于另一点D(3,),过点D作DC⊥x轴,垂足为C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P在线段OC上(不与点O,C重合),过P作PN⊥x轴,交直线AD于M,交抛物线于点N,NE⊥AD于点E,求NE的最大值;
(3)若P是x轴正半轴上的一动点,设OP的长为t.是否存在t,使以点M,C,D,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+1;(2);(3)t=时,以点M,C,D,N为顶点的四边形是平行四边形
【解析】
(1)把B(4,0),点D(3,)代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式;
(2)先用含t的代数式表示P、M坐标,再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式,然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值;
(3)若四边形DCMN为平行四边形,则有MN=DC,故可得出关于t的二元一次方程,解方程即可得到结论.
(1)将点B、D的坐标代入二次函数表达式得:
,解得:,
则函数的表达式为:y=﹣x2+x+1;
(2)设直线AD函数表达式为:y=mx+n,将点A(0,1)、D (3,)代入得:
解得:
∴直线AD的表达式为:y=x+1,
∴A点的坐标为(0,1)
设直线AD 与x轴交于H点,则H(-2,0)
∴tan∠AHO=,
∵PN⊥x轴, NE⊥AD
则tan∠ENP=an∠AHO=,则cos∠ENP=,
设点N(m,﹣m2+m+1)、点M(m+1),
则NE=MNcos∠ENP=(﹣m2+m+1﹣m﹣1)=﹣(m﹣)2+,
故当m=时,则NE的最大值为;
(3)设:OP=t,则点M(t, t+1)、N(t,﹣t2+t+1),
∴|MN|=|-t2+t+1-t-1|=|-t2+t|,CD=,
如图1,如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形,
∴MN=CD,即-t2+t=,整理得:3t2-9t+10=0,
∵△=-39,
∴方程无实数根,
∴此种情况不存在t,
如图2,如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形,
∴MN=CD,即t2-t=,
∴t=或(负值舍去),
∴当t=时,以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于A(1,4),B(4,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当x>0时,的解集.
(3)点P是x轴上的一动点,试确定点P并求出它的坐标,使PA+PB最小.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AC到E,使CE=CO,连接EB,ED.
(1)求证:EB=ED;
(2)过点A作AF⊥AD,交BC于点G,交BE于点F,若∠AEB=45°,
①试判断△ABF的形状,并加以证明;
②设CE=m,求EF的长(用含m的式子表示).
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【题目】如图1,在中,∠B=90°,,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接将绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为.
问题发现:
当时,_____;当时,_____.
拓展探究:
试判断:当时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
问题解决:
当旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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【题目】如图,在△AOC中,∠OAC=90°,AO=AC,OC=2,将△AOC放置于平面直角坐标系中,点O与坐标原点重合,斜边OC在x轴上.反比例函数y=(x>0)的图象经过点A.将△AOC沿x轴向右平移2个单位长度,记平移后三角形的边与反比例函数图象的交点为A1,A2.重复平移操作,依次记交点为A3,A4,A5,A6…分别过点A,A1,A2,A3,A4,A5…作x轴的垂线,垂足依次记为P,P1,P2,P3,P4,P5…若四边形APP1A1的面积记为S1,四边形A2P2P3A3的面积记为S2…,则Sn=_____.(用含n的代数式表示,n为正整数)
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【题目】如图,已知锐角内接于⊙O, 于点D,连结AO.
⑴若.
①求证:;
②当时,求面积的最大值;
⑵点E在线段OA上,,连接DE,设,(m、n是正数),若,求证:
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【题目】某数学兴趣小组,利用树影测量树高,如图(1),已测出树AB的影长AC为12米,并测出此时太阳光线与地面成30°夹角.
(1)求出树高AB;
(2)因水土流失,此时树AB沿太阳光线方向倒下,在倾倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线与地面夹角保持不变.求树的最大影长.(用图(2)解答)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2tx+2.
(1)求抛物线的对称轴(用含t的代数式表示);
(2)将点A(﹣1,3)向右平移5个单位长度,得到点B.
①若抛物线经过点B求t的值;
②若抛物线与线段AB恰有一个交点,结合函数图象直接写出t的取值范围.
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【题目】(1)如图1,如果ɑ,β都为锐角,且tanɑ=,tanβ=,则ɑ+β=___________;
(2)如果ɑ,β都为锐角,当tanɑ=5,tanβ=时,在图2的正方形网格中,利用已作出的锐角ɑ,画出∠MON,使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β=__________度.
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