Question

7．如图，直线y=kx+b经过A（-3，$\frac{20}{3}$）、B（5，-4）两点，过点A作AD⊥x轴于D点，过点B作BC⊥y轴于C点，AB与x轴相交于E点，判断四边形BCDE的形状，并加以证明．

Answer 1

分析 判断四边形BCDE为菱形．设直线AB的解析式为y=kx+b，由A、B点的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，令y=0可得出点E的坐标，结合A、B的坐标可得出点D、点C的坐标，从而得出BC、DE的长度，由BC⊥y轴于C点，可得出BC∥DE，再结合BC=DE可得出四边形BCDE为平行四边形．通过解直角三角形可求出CD长度，由此得出BC=CD，从而证得四边形BCDE为菱形．

解答 解：四边形BCDE为菱形．
证明：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（-3，$\frac{20}{3}$）、点B（5，-4）代入到y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}=-3k+b}\\{-4=5k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
令y=0，则-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$=0，解得：x=2，
∴点E的坐标为（2，0）．
∵BC⊥y轴于C点，
∴BC∥x轴∥DE．
∵点A（-3，$\frac{20}{3}$）、点B（5，-4），
∴点D（-3，0），点C（0，-4），
∴BC=5-0=5，DE=2-（-3）=5，
∴BC=DE．
∴四边形BCDE为平行四边形．
在Rt△COD中，OC=4，OD=3，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=5．
∵BC=DE=5，
∴BC=CD，
∴四边形BCDE为菱形．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、菱形的判定定理以及解直角三角形，解题的关键是找出点E的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由待定系数法求出一次函数解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合点的坐标判定四边形具体是什么形．