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如图，一次函数y₁=ax+2与反比例函数y₂= $数学公式$ 的图象交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求a、k的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，若P为反比例函数图象的位于第一象限部分上的一点，且直线OP分△ADE所得的两部分面积之比为2：7．请求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，请在x轴上找一点Q，使得△PQC的周长最小，并求出点Q的坐标．

解：（1）将B（-8，-2）代入反比例函数解析式得：-2= $\text{[math]}$ ，解得：k=16，
将B（-8，-2）代入一次函数解析式得：-8a+2=-2，解得：a= $\text{[math]}$ ；

（2）分两种情况考虑：
①设P点存在，连接OP交AE于点F，

将A（4，m）代入反比例解析式得：m=4，令一次函数y= $\text{[math]}$ x+2中，y=0，解得：x=-4，
则AE=4，OD=4，DE=OD+OE=4+4=8，
则S_△ADE= $\text{[math]}$ AE•DE= $\text{[math]}$ ×4×8=16，
又∵S_△OEF：S_{四边形AFOD}=2：7，
∴S_△OEF= $\text{[math]}$ ×16= $\text{[math]}$ ，
又∵S_△OEF= $\text{[math]}$ EF•OE，OE=4，
∴EF= $\text{[math]}$ ，
∴F（4， $\text{[math]}$ ），
设直线OF的方程为y=kx，将F（4， $\text{[math]}$ ）代入得：k= $\text{[math]}$ ，
将直线OF方程与反比例函数解析式联立得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
∵P点在第一象限内，
∴P（6， $\text{[math]}$ ）；
②设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴，

∵S_△FDO：S_{四边形ACOE}=2：7，
∴S_△FDO= $\text{[math]}$ ，
∴FH=y= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x+2得：x=- $\text{[math]}$ ，
∴F（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），在第二象限，
与图形矛盾，故此时P点不存在，
综上，P的坐标为（6， $\text{[math]}$ ）；

（3）点P存在时，P（6， $\text{[math]}$ ），则P点关于x轴的对称点为P′（6，- $\text{[math]}$ ），
连接P′C交x轴于点Q，

设P′C的方程为y=kx+b，将C与P′坐标代入得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
∴P′C的方程为y=- $\text{[math]}$ x+2，
令y=0，解得：x= $\text{[math]}$ ，
则Q（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入一次函数解析式求出a的值，确定出一次函数解析式；
（2）分两种情况考虑：①假设P存在，连接OP，交AE于点F，如图所示，将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，得到AE与OE的长，令一次函数y=0求出x的值，确定出D的坐标，得到OD的长，由OD+OE求出DE的长，进而确定出直角三角形ADE的面积，由三角形OEF的面积与四边形AFOD的面积之比，求出三角形OEF的面积，由OE的长，利用三角形面积公式求出FE的长，确定出F坐标，设直线OF解析式为y=kx，将F坐标代入求出k的值，确定出直线OF解析式，与反比例解析式联立即可求出P的坐标，经检验符合题意；②假设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴同理得到三角形FDC的面积，由OD求出FH的长，代入已知一次函数解析式中，确定出F坐标，得到F在第二象限，不合图形，矛盾，此时P不存在，综上，得到满足题意P的坐标；
（3）由（2）得出P的坐标，找出P关于x轴的对称点P′，连接CP′于x轴交于Q点，求出即可．
点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：对称的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及一次函数与反比例函数的交点问题，灵活运用待定系数法是解本题的关键．

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