Question

（2005•泰安）某“研究性学习小组”遇到了以下问题，请参与：
已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取上异于A、B的点M．设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N．

（1）如图1，图2，图3，M分别为的中点、三分之一点、四分之一点，△ABC的边长均为2，分别测量出AK、BN的长，计算AK•BN的值（精确到0.01）并将结果填入下表中：

	△ABC的边长	AK•BN的值
图1	2
图2	2
图3	2

（2）如图4，当M为上任意一点时，根据（1）的结果，猜想AK•BN与AB的数量关系式为______；
（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明．

Answer 1

【答案】分析：本题要求的实际是AK、BN与等边三角形ABC边长的关系．可通过证△AKB与△BAN相似来求解．
解答：解：（1）4，4，4

（2）AK•BN=AB²

（3）∵∠ABM+∠BAM=∠AMK=∠C=60°，∠BAM+∠N=60°
∴∠ABM=∠N
∵∠KAB=∠NBA=120°
∴△AKB∽△BAN
∴
∴AK•BN=AB²．
点评：本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识点．根据圆周角定理得出角相等从而证得三角形相似是解题的关键．