Question

将下列各式因式分解：
（1）a³-16a；                   
（2）4ab+1-a²-4b²．
（3）9（a-b）²+12（a²-b²）+4（a+b）²；
（4）x²-2xy+y²+2x-2y+1．
（5）（x²-2x）²+2x²-4x+1．
（6）49（x-y）²-25（x+y）²
（7）81x⁵y⁵-16xy
（8）（x²-5x）²-36．

Answer 1

分析：（1）先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）先将第一、三、四项作为一组，提取-1后写成完全平方式，再利用平方差公式分解；
（3）将（a+b），（a-b）看作一个整体，利用完全平方公式分解因式；
（4）x²-2xy+y²+2x-2y+1变形为（x-y）²+2（x-y）+1，利用完全平方公式分解因式；
（5）利用完全平方公式分解因式；
（6）利用平方差公式分解因式；
（7）先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（8）利用平方差公式分解因式，再利用十字相乘法公式分解因式．

解答：解：（1）a³-16a=a（a²-16）=a（a+4）（a-4）；                   
                  
（2）4ab+1-a²-4b²=1-（-4ab+a²+4b²）=1-（a-2b）²=（1+a-2b）（1-a+2b）；

（3）9（a-b）²+12（a²-b²）+4（a+b）²=[3（a-b）]²+2×3（a-b）×2（a+b）+[2（a+b）]²=[3（a-b）+2（a+b）]²=（5a-b）²；

（4）x²-2xy+y²+2x-2y+1=（x-y）²+2（x-y）+1=（x-y+1）²；

（5）（x²-2x）²+2x²-4x+1=（x²-2x）²+2（x²-2x）+1=（x²-2x+1）²=（x-1）⁴；

（6）49（x-y）²-25（x+y）²=[7（x-y）]²-[5（x+y）]²=[7（x-y）+5（x+y）][7（x-y）-5（x+y）]=（12x-2y）（2x-12y）=4（6x-y）（x-6y）；

（7）81x⁵y⁵-16xy=xy（81x⁴y⁴-16）=xy（9x²y²+4）（9x²y²-4）=xy（9x²y²+4）（3xy+2）（3xy-2）；

（8）（x²-5x）²-36=（x²-5x+6）（x²-5x-6）=（x-2）（x-3）（x-6）（x+1）．

点评：本题考查了提公因式法与公式法的综合应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．注意一个多项式采取什么方法进行因式分解要根据题目的特点而定，所以要认真观察式子的特点．