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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
    （1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
    （2）在运动过程中，当t为何值时，△PQD是以∠PDQ为顶角的等腰三角形？并说明：此时，△PQD的面积恰好等于
    1
    2
    PQ2．
    （3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
    （1）∵AB=6cm，BC=8cm，
    ∴BD=
    		AB2+BC2
    =
    		62+82
    =10，
    ∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，
    ∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，
    点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，
    到达点B的时间是（6+8）÷3=
    14
    3
    秒，
    ①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，
    则sin∠BDC=
    PE
    PD
    =
    BC
    BD
    ，
    即
    PE
    10-2t
    =
    8
    10
    ，
    解得PE=
    8
    5
    （5-t），
    S△PQD=
    1
    2
    ×3t•
    8
    5
    （5-t）=
    12
    5
    t（5-t）=-
    12
    5
    t2+12t（0＜t≤2）；
    ②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，
    则sin∠CBD=
    PE
    PB
    =
    CD
    BD
    ，
    即
    PE
    2t
    =
    6
    10
    ，
    解得PE=
    6
    5
    t，
    此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，
    S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，
    =
    1
    2
    ×8×6-
    1
    2
    ×6（3t-6）-
    1
    2
    ×（14-3t）×
    6
    5
    t，
    =24-9t+18-
    42
    5
    t+
    9
    5
    t2，
    =
    9
    5
    t2-
    87
    5
    t+42（2≤t＜
    14
    3
    ），
    综上所述，S与t的关系式为S=-
    12
    5
    t2+12t（0＜t≤2）；
    S=
    9
    5
    t2-
    87
    5
    t+42（2≤t＜
    14
    3
    ）；

    （2）如图2，∵DP=DQ，PB=2t，DQ=3t，BD=10cm，
    ∴10-2t=3t，
    ∴t=2，
    ∴DQ=3t=6，
    ∴Q点与C点重合，
    ∴S△PQD=-
    12
    5
    t2+12t=
    72
    5
    cm2，
    做PH⊥DC，
    ∴PH∥BC，
    ∴
    PH
    BC
    =
    DH
    DC
    =
    PD
    BD
    ，
    ∵t=2，
    ∴PD=6cm，
    ∴
    PH
    8
    =
    DH
    6
    =
    3
    5
    ，
    ∴PH=
    24
    5
    cm，DH=
    18
    5
    cm，
    ∴HQ=HC=6-
    18
    5
    =
    12
    5
    cm，
    ∵∠PHC=90°，
    ∴PQ2=
    144
    5
    cm2，
    ∴
    1
    2
    PQ2=
    72
    5
    cm2，
    即S△PQD=
    1
    2
    PQ2；

    （3）存在这样的t，使得△PQD为直角三角形，
    ①如图3，若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，
    ∵矩形ABCD，
    ∴PQ∥BC，
    ∴
    DQ
    DC
    =
    DP
    DB
    ，
    ∵PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm，
    ∴
    10-2t
    10
    =
    3t
    6
    ，
    ∴t=
    10
    7
    ，
    ②如图4，若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，
    ∴QP⊥BD，
    ∴PD2=PQ2=DQ2，
    ∵P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，
    ∴BP=2t，CD+CQ=3t，
    ∵CD=6cm，BD=10cm，BC=8cm，
    ∴DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，
    ∵∠C=90°，PQ⊥BD，
    ∴PD2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
    PQ2=BQ2-BP2=（14-3t）2-（2t）2=196-84t+5t2，
    DQ2=CD2+CQ2=62+（3t-6）2=72+9t2-36t，
    ∵PD2=PQ2=DQ2，
    ∴100-40t+4t2+196-84t+5t2=72+9t2-36t，
    解方程得：t=
    29
    11
    ，
    ∴当t=
    10
    7
    或者t=
    29
    11
    时，△PQD为直角三角形．
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    1
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    		5
    ．

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