Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，BC=CD，BE⊥CD，垂足为E
（1）求证：AB=BE；
（2）若AD=1，AB=2，求BC的长．

Answer 1

证明（1）过点D作DH⊥BC于H，
在△DHC和BEC中，
∵，
∴△DHC≌△BEC，
∴DH=BE，
∵∠A=∠ABC=∠DHB=90
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH，
∴AB=BE；

（2）设CD=BC=x，则HC=BC-BH=x-1，
在Rt△DHC中，
DH²+HC²=DC²，
即（x-1）²+2²=x²，
解得：x=2.5，
则BC=2.5．
分析：（1）过点D作DH⊥BC于H，证明△DHC≌△BEC，进而证明四边形ABHD是矩形，可证得AB=BE；
（2）设CD=BC=x，则HC=BC-BH=x-1，在Rt△DHC中，利用勾股定理建立方程求出x的值即为BC的长．
点评：本题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性不小．