Question

10．小明学习了特殊的四边形-平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是菱形、正方形．
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：$\frac{1}{2}$AC•BD．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC=4，AB=5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②直接写出四边形BCGE的面积．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BO+$\frac{1}{2}$AC•DO=$\frac{1}{2}$AC•BD；
（3）①连接CG、BE，证出∠GAB=∠CAE，由SAS证明△GAB≌△CAE，得出BG=CE，∠ABG=∠AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；
②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．

解答 （1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）解：如图1所示：
∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BO+$\frac{1}{2}$AC•DO=$\frac{1}{2}$AC（BO+DO）=$\frac{1}{2}$AC•BD；
故答案为：$\frac{1}{2}$AC•BD；
（3）①证明：连接CG、BE，如图2所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，AB=AE，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}&{\;}\\{∠GAB=∠CAE}&{\;}\\{AB=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE为垂美四边形；
②解：∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∴BF=BC+CF=7，
在Tt△BFG中，BG=$\sqrt{B{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
∴CE=BG=$\sqrt{65}$，
∵四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积=$\frac{1}{2}$BG•CE=$\frac{65}{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．