精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
2.已知△ABC是等边三角形,点D是直线AC上的点,点E是直线BC上的点,且DB=DE,
(1)当点D在线段AC上(不与A,C重合)时,易证AD=CE;
(2)当点D在CA的延长线上;如图(3),当点D在AC的延长线上时,线段AD与CE有怎样的数量关系,直接写出你的猜想,并在图(2)和图(3)中选择一种情况给予证明.

分析 (1)如图1中,作DM∥AB交CB于M.首先证明AD=BM.再证明△DBM≌△DEC,推出BM=CE,即可证明;
(2)如图2中,作DM∥AB交CB的延长线于M.首先证明AD=BM.再证明△DBM≌△DEC,推出BM=CE,即可证明;如图3中,作DM∥AB交BC的延长线于M.证明方法类似;

解答 解:(1)如图1中,作DM∥AB交CB于M.

∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠DMC=60°,∠BAC=∠MDC=60°,
∴△DMC是等边三角形,
∴DM=DC=CM,∠DMC=∠DCM=60°,
∴∠DMB=∠DCE
∵CA=CB,
∴BM=AD,
∵DB=DE,
∴∠DBE=∠E,
在△DBM和△DEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠E}\\{∠DMB=∠DCE}\\{DB=DE}\end{array}\right.$,
∴△DBM≌△DEC,
∴BM=CE,
∴AD=EC.

(2)结论:不变.AD=EC.
理由:如图2中,作DM∥AB交CB的延长线于M.

∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠M=60°,∠BAC=∠MDC=60°,
∴△DMC是等边三角形,
∴DM=DC=CM,∠M=∠C=60°,
∵CA=CB,
∴BM=AD,
∵DB=DE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴∠DBM=∠DEC,
在△DBM和△DEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠C}\\{∠DBM=∠DEC}\\{DB=DE}\end{array}\right.$,
∴△DBM≌△DEC,
∴BM=CE,
∴AD=EC.

如图3中,作DM∥AB交BC的延长线于M.

∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠DMC=60°,∠BAC=∠MDC=60°,
∴△DMC是等边三角形,
∴DM=DC=CM,∠DMB=∠DCM=60°,
∵CA=CB,
∴BM=AD,
∵DB=DE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴∠DBM=∠DEC,
在△DBM和△DEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMB=∠DCE}\\{∠DBM=∠E}\\{DM=DC}\end{array}\right.$,
∴△DBE≌△DEC,
∴BM=CE,
∴AD=EC.

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

11.材料阅读:
若一个整数能表示成a2+b2(a、b是正整数)的形式,则称这个数为“完美数”.
例如:因为13=32+22,所以13是“完美数”;
再如:因为a2+2ab+2b2=(a+b)2+b2(a、b是正整数),所以a2+2ab+2b2也是“完美数”.
(1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数”,并判断53是否为“完美数”;
(2)试判断(x2+9y2)•(4y2+x2)(x、y是正整数)是否为“完美数”,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

13.一天,老师布置了一份课外作业,在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的正方形网格中,当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.如图,小亮选取了5个的图形进行观察,由此可以猜出小正方形的个数f与m、n的关系式是f=m+n-1.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

10.如图,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,∠A=90°,试说明:AB=AC.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

17.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F.求证:AC=AF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

7.如图,在△ABC中,AB=AC,过A作AD⊥AB交BC于点D,过B作BE⊥AC,交CA延长线于点E,过D作DF⊥AC,垂足为F.若EF=3$\sqrt{3}$.BC=6$\sqrt{2}$.则tan∠C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

14.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,BE=CF,求证:AC∥DF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

11.[阅读材料,获取新知]
在航空、航海等领域我们经常用距离和角度来确定点的位置.规定如下:在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,在选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系.通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°).
例如:如图①,点M到点O的距离为5个单位长度,OM与Ox的夹角70°(Ox的逆时针方向),则点M的极坐标为(5,70°);同理,点N到点O的距离为3个单位长度,ON与Ox的夹角50°(Ox的顺时针方向),则点N的极坐标为(3,-50°).
[利用新知,解答问题]
请根据以上信息,回答下列问题:
如图②,已知过点O的所有射线等分圆周且相邻两射线的夹角为15°.
(1)点A的极坐标是(4,75°);点D的极坐标是(3,-30);
(2)请在图②中标出点B(5,45°),点E(2,-90°);
(3)怎样从点B运动到点C?
小明设计的一条路线为:点B→(4,45°)→(3,45°)→(3,30°)→点C.
请你设计与小明不同的一条路线,也可以从点B运动到点C.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

12.已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{ax-by=5}\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l}{bx-2ay=1}\\{x-7=y}\end{array}\right.$同解,求$\frac{b}{a}$的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案