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(2003•广西)如图,以A(0,)为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O,与y轴相交于点B,弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E,且∠BEO=60°,AD的延长线交x轴于点C.
(1)分别求点E、C的坐标;
(2)求经过A、C两点,且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式;
(3)设抛物线的对称轴与AC的交点为M,试判断以M点为圆心,ME为半径的圆与⊙A的位置关系,并说明理由.

【答案】分析:(1)已知了A点的坐标,即可得出圆的半径和直径,可在直角三角形BOE中,根据∠BEO和OB的长求出OE的长进而可求出E点的坐标,同理可在直角三角形OAC中求出C点的坐标.
(2)已知了对称轴的解析式,可据此求出C点关于对称轴对称的点的坐标,然后根据此点坐标以及C,A的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(3)两圆应该外切,由于直线DE∥OB,因此∠MED=∠ABD,由于AB=AD,那么∠ADB=∠ABD,将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE,即ME=MD,因此两圆的圆心距AM=ME+AD即两圆的半径和,因此两圆外切.
解答:解:(1)在Rt△EOB中EO===2,
∴点E的坐标为(-2,0),
在Rt△COA中,OC=OA•tan∠CAO=OA•tan60°=×=3,
∴点C的坐标为(-3,0).

(2)∵点C关于对称轴x=-2对称的点的坐标为(-1,0),
点C与点(-1,0)都在抛物线上,
设y=a(x+1)(x+3),把A(0,)代入得,
=a(0+1)(0+3),
∴a=
∴y=(x+1)(x+3)
即y=x2+x+

(3)⊙M与⊙A外切,
证明如下:∵ME∥y轴,
∴∠MED=∠B,
∵∠B=∠BDA=∠MDE,
∴∠MED=∠MDE,
∴ME=MD,
∵MA=MD+AD=ME+AD,
∴⊙M与⊙A外切.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、切线的性质、圆与圆的位置关系等知识点.
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A.5
B.10
C.15
D.20

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