Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=

1

4

x2+1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值．

Answer 1

（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴A，B的横坐标分别是2和-2，
代入y=

1

4

x2+1得，A（2，2），B（-2，2），
∴M（0，2），（2分）

（2）①过点Q作QH⊥x轴，连接MC．
∵CM∥PQ，
∴∠QPC=∠MCO，
∵∠COM=∠PHQ=90°，
∴△HQP∽△OMC，
设垂足为H，则HQ=y，HP=x-t，
由△HQP∽△OMC，得：

y

2

=

x-t

4

，即：t=x-2y，
∵Q（x，y）在y=

1

4

x2+1上，
∴t=-

1

2

x2+x-2．（2分）
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=-4，解得x=1±

5

，
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2
∴x的取值范围是x≠1±

5

，且x≠±2的所有实数；（2分）
②分两种情况讨论：
（1）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上，
∵CM∥PQ，CM=2PQ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（

1

4

x2+1），解得x=0，
∴t=-

1

2

02+0-2=-2；（2分）
（2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM=

1

2

PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即

1

4

x2+1=2×2，
解得：x=±2

3

；（2分）
当x=-2

3

时，得t=-

1

2

(2

3

)2-2

3

-2=-8-2

3

，
当x=2

3

时，得t=2

3

-8．