Question

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE = BD，F为DE的中点，连结AF、CF．

（1）若AB = 3，AD = 4，求CF的长；
（2）求证：∠ADB = 2∠DAF．

Answer 1

（1）；（2）连接BF，由BE=BD，EF=DF可证得∠DBF=∠EBF，再由CF=DE=DF即可证得∠DCF=∠FDC，从而可得∠ADF=BCF，再结合AD=BC即可证得△ADF≌△BCF，再根据全等三角形的性质即可作出判断.

试题分析：（1）根据矩形的性质可得，再根据个定理即可求的BD的长，从而可以求得BE、CE的长，再根据勾股定理即可求得DE的长，最后由F为DE的中点即可求得结果；
（2）连接BF，由BE=BD，EF=DF可证得∠DBF=∠EBF，再由CF=DE=DF即可证得∠DCF=∠FDC，从而可得∠ADF=BCF，再结合AD=BC即可证得△ADF≌△BCF，再根据全等三角形的性质即可作出判断.
（1）∵因为四边形ABCD是矩形
∴
在RT△ABD中，
∴，
∴
∵F是DE的中点
∴；
（2）连接BF

∵BE=BD，EF=DF
∴∠DBF=∠EBF
又∵CF=DE=DF
∴∠DCF=∠FDC
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF
即∠ADF=BCF
又∵AD=BC
∴△ADF≌△BCF
∴∠DAF=∠FBC=∠DBE
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBE
∴∠ADB=2∠DAF．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．