Question

如图，已知动圆A始终经过定点B（0，2），圆心A在抛物线上运动，MN为⊙A在x轴上截得的弦（点M在N左侧）
（1）当A（，a）时，求a的值，并计算此时⊙A的半径与弦MN的长．
（2）当⊙A的圆心A运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？若改变，举例说明；若不变，说明理由．
（3）连接BM，BN，当△OBM与△OBN相似时，计算点M的坐标．

Answer 1

解：（1）把点A（，a）代入y=x²，
得：a=×（2）²=2，
∵B（0，2），
∴AB∥x轴，
∴⊙A的半径为2，
如图，过点A作AE⊥MN于点E，连接AM，
则AM=AB=2，
ME===2，
由垂径定理，MN=2ME=2×2=4．
故此时⊙A的半径为2，弦MN的长为4；

（2）MN不变．如图1，理由如下：
设点A（m，n），则AB²=m²+（n-2）²，
在Rt△AME中，ME²=AM²-AE²=m²+（n-2）²-n²=m²-4n+4，
∵点A在抛物线y=x²上，
∴m²=n，
整理得，ME²=4，
ME=2，
由垂径定理得，MN=2ME=2×2=4（是定值，不变）；


（3）连接BM，BN，设M（x，0），则N（x+4，0）．
当△OBM与△OBN相似，有以下情况：
①M、N在y轴同侧，
∵△OBM与△OBN相似，
∴=，
即OB²=OM•ON，
所以，x（x+4）=4，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2，x₂=-2-2，
当M、N在y轴右侧时，如图2，M（-2+2，0），
当M、N在y轴左侧时，如图3，M（-2-2，0），
②M、N在y轴两侧时，如图4，
∵△OBM与△OBN相似，
∴=，
即OB²=OM•ON，
-x（x+4）=4，
整理得，x²+4x+4=0，
解得x=-2，
此时△OBM与△OBN全等，M（-2，0），
综上所述，M有三种情况：M（-2+2，0），M（（-2-2，0），M（-2，0）．
分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值为2，从而得到AB∥x轴，根据点A的横坐标即可得到⊙A的半径，过点A作AE⊥MN于点E，利用勾股定理求出ME的长度，再根据勾股定理即可得到MN的长度；
（2）设点A坐标为（m，n），利用点A、B的坐标结合勾股定理表示出AB²，再根据勾股定理表示出ME²，并把AB²的表达式代入进行计算，然后根据点A在抛物线上得到m、n的关系式，整理即可得到ME=2是常数，然后得到MN不变；
（3）设出点M的坐标，并表示出点N的坐标，然后分①点M、N在y轴同一侧，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到点M的坐标；②点M、N在y轴两侧，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到点M的坐标．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数图象上点的特征，勾股定理，垂径定理，以及相似三角形对应边成比例，（3）题要注意分点M、N在y轴的同一侧与两侧两种情况讨论求解．