Question

7．已知$\sqrt{120\sqrt{6}+540\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2118}$可写成a$\sqrt{2}$+b$\sqrt{3}$+c$\sqrt{5}$的形式（a，b，c为正整数），求abc的值．

Answer 1

分析 根据题意，可得到$\sqrt{120\sqrt{6}+540\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2118}$=a$\sqrt{2}$+b$\sqrt{3}$+c$\sqrt{5}$利用平方关系，把根号化去．根据$\sqrt{6}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{15}$的系数相等得到关于a、b、c的三元方程组，求出a、b、c的值．

解答 解：由已知可知$\sqrt{120\sqrt{6}+540\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2118}$=a$\sqrt{2}$+b$\sqrt{3}$+c$\sqrt{5}$
所以120$\sqrt{6}$+540$\sqrt{10}$+144$\sqrt{15}$+2118=（a$\sqrt{2}$+b$\sqrt{3}$+c$\sqrt{5}$）²
即120$\sqrt{6}$+540$\sqrt{10}$+144$\sqrt{15}$+2118=2a²+3b²+5c²+2$\sqrt{6}$ab+2$\sqrt{10}$ac+2$\sqrt{15}$bc
所以$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+3{b}^{2}+5{c}^{2}=2118}\\{2ab=120}\\{2ac=540}\\{2bc=144}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=15}\\{b=4}\\{c=18}\end{array}\right.$
所以abc=15×4×18=1080．
答：abc的值是1080．

点评 本题考查了完全平方公式、三元二次方程组及二次根式的相关知识．处理本题可类似确定函数解析式的待定系数法，根据$\sqrt{6}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{15}$的系数相等，可出方程组．解决本题的关键是解三元二次方程组，确定a、b、c的值．