Question

11．将一块含有45°的三角板ABC的顶点A放在⊙O上，且AC与⊙O相切于点A（如图1），将△ABC从点A开始，绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜135°），旋转后，AC、AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF（如图2）．已知AC=8，⊙O的半径为4．
（1）在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是①②④（填序号）；
（2）当α=90°时，BC与⊙O相切（直接写出答案）；
（3）当BC与⊙O相切时，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE、OF、过O作OD⊥EF于D，根据圆周角定理求出∠EOF，解直角三角形求出EF，根据直角三角形的性质求出OD即可；
（2）根据题意得出旋转后的α=∠ACB，即可得出答案；
（3）解直角三角形求出AF和EF，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：（1）①②④，理由是：
如图1，连接OE、OF、过O作OD⊥EF于D，

∵∠A=45°，
∴∠EOF=2∠A=90°，
∵OE=OF=4，
∴由勾股定理得：EF=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵OD⊥EF，OE=OF，
∴ED=DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵∠EOF=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，
所以①②④是不不变量，
∠AFE的值随着运动而不断变化的，不能确定，
故答案为：①②④；

（2）当α=90°时，BC与⊙O相切，
理由是：连接OA，
∵已知AC和⊙O相切，如图2，

∴∠OAC=90°，
△ACB绕A点运动到BC和⊙O相切时，如图3，

∠ACB=90°，
即图2中的AC和图3中的BC互相平行，
所以α=∠ACB=90°，
故答案为：90；

（3）如图3，当BC与⊙O相切时，
依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，
∵AC为⊙O直径，
∴∠AFE=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠FCA=45°．
∴∠BAC=∠FCA，
∴AF=EF，
∵AC=8，
∴AF=EF=4$\sqrt{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×（4$\sqrt{2}$）²=16．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．