Question

4．在△ABC中，∠A、∠B满足|sinA-$\frac{1}{2}$|+（sinB-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²=0，求：
（1）∠C的大小；
（2）若AC=12，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由绝对值和偶次方的非负性质和三角函数求出∠A=30°，∠B=45°，再由三角形内角和定理即可求出∠C的度数；
（2）作CD⊥AB于D，由含30°角的直角三角形的性质求出CD=$\frac{1}{2}$AC=6，证出△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理得出BC=$\sqrt{2}$CD=6$\sqrt{2}$即可．

解答 解：（1）∵|sinA-$\frac{1}{2}$|+（sinB-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²=0，
∴sinA-$\frac{1}{2}$=0，sinB-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=0，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°；
（2）作CD⊥AB于D，如图所示，
∵AC=12，∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=6，BC=$\sqrt{2}$CD=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形、绝对值和偶次方的非负性质、锐角三角函数、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；本题难度适中，作出辅助线是解决问题（2）的关键．