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【题目】如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于O点,训练时要求AB两船始终关于O点对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设AB两船可近似看成在双曲线y上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中当教练船与AB两船恰好在直线yx上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得ACAB的夹角为60°B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,ABC三船可分别用ABC三点表示).

(1)发现C船时,ABC三船所在位置的坐标分别为A(______________)B(______________)C(______________)

(2)发现C船,三船立即停止训练,并分别从AOB三点出发沿最短路线同时前往救援,设AB两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为34,问教练船是否最先赶到?请说明理由.

【答案】1A(22)B(2,-2)C(2,-2);(2)教练船没有最先赶到,理由见详解.

【解析】

1AB两点直线y=x上和双曲线y=,列方程组可求AB两点坐标,在依题意判断△ABC为等边三角形,OA=2,则OC=OA=2,过C点作x轴的垂线CE,垂足为E,利用OC在第四象限的角平分线上求OECE,确定C点坐标;

2)分别求出ACOC的长,分别表示教练船与AB两船的速度与时间,比较时间的大小即可.

解:(1CE⊥x轴于E,解方程组

∴A22),B-2-2),

在等边△ABC中可求OA=2

OC=OA=2

Rt△OCE中,

∴C2-2);

2)作AD⊥x轴于D,连ACBCOC

∵A22),

∴∠AOD=45°AO=2

∵CO的东南45°方向上,

∴∠AOC=45°+45°=90°

∵AO=BO∴AC=BC

∵∠BAC=60°

∴△ABC为正三角形,

∴AC=BC=AB=2AO=4

由条件设教练船的速度为3mAB两船的速度都为4m

则教练船所用时间为AB两船所用时间均为=

==

教练船没有最先赶到.

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