Question

正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．求证：
①△ABG≌△AFG；
②BG=GC．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质可得△ADE和△AFE全等，根据全等三角形的性质可得AD=AF，∠D=∠AFE=90°，然后求出AB=AF，再利用“HL”证明△ABG和△AFG全等；
（2）设BG=x，根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，然后求出DE、EF的长，再表示出CG、GE、CE，在Rt△GCE中，利用勾股定理列式求出x的值，再求出CG即可得证．

解答：证明：（1）∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
又∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=∠D=90°，
在△ABG和△AFG中，

AG=AG AB=AF

，
∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）设BG=x，
∵正方形ABCD中，AB=6，
∴AB=BC=CD=6，
∴CG=6-x，
又∵CD=3DE，
∴CG=2，CE=4，
又∵△ADE≌△AFE，
∴EF=DE=2，
又∵△ABG≌△AFG，
∴BG=GF=x，
∴EG=2+x，
∴在Rt△GCE中，GE²=GC²+EC²，
（2+x）²=（6-x）²+4²，
∴x=3，
∴BG=3，CG=3，
∴G为BC中点．

点评：本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定，熟记翻折变换的性质得到相等的边和角是解题的关键，难点在于（2）利用勾股定理列出方程求出两段线段的数值相等．