【题目】如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图象围成的封闭图形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).
(1)直接写出这两个二次函数的表达式;
(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;
(3)如图2,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标
【答案】(1)y1=﹣x2+1,y2=3x2﹣3;(2)存在,理由见解析;(3)(0,﹣)或(,﹣1)或(1,﹣)或(﹣,﹣2).
【解析】(1)利用待定系数法即可得出结论;
(2)先确定出MM'=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2,进而建立方程2m=4-4m2,即可得出结论;
(3)先利用勾股定理求出AD=,同理:CD=,BC=,再分两种情况:
①如图1,当△DBC∽△DAE时,得出,进而求出DE=,即可得出E(0,-),
再判断出△DEF∽△DAO,得出,求出DF=,EF=,再用面积法求出E'M=,即可得出结论;
②如图2,当△DBC∽△ADE时,得出,求出AE=,
当E在直线AD左侧时,先利用勾股定理求出PA=,PO=,进而得出PE=,再判断出,即可得出点E坐标,当E'在直线DA右侧时,即可得出结论.
(1)∵点A(1,0),B(0,1)在二次函数y1=kx2+m(k<0)的图象上,
∴,
∴,
∴二次函数解析式为y1=-x2+1,
∵点A(1,0),D(0,-3)在二次函数y2=ax2+b(a>0)的图象上,
∴,
∴,
∴二次函数y2=3x2-3;
(2)设M(m,-m2+1)为第一象限内的图形ABCD上一点,M'(m,3m2-3)为第四象限的图形上一点,
∴MM'=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2,
由抛物线的对称性知,若有内接正方形,
∴2m=4-4m2,
∴m=或m=(舍),
∵0<<1,
∴存在内接正方形,此时其边长为;
(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,
∴AD=,
同理:CD=,
在Rt△BOC中,OB=OC=1,
∴BC=,
①如图1,当△DBC∽△DAE时,
∵∠CDB=∠ADO,
∴在y轴上存在E,由,
∴,
∴DE=,
∵D(0,-3),
∴E(0,-),
由对称性知,在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE',
连接EE'交DA于F点,作E'M⊥OD于M,连接E'D,
∵E,E'关于DA对称,
∴DF垂直平分EE',
∴△DEF∽△DAO,
∴,
∴,
∴DF=,EF=,
∵S△DEE'=DEE'M=EF×DF=,
∴E'M=,
∵DE'=DE=,
在Rt△DE'M中,DM=
∴OM=1,
∴E'(,-1),
②如图2,
当△DBC∽△ADE时,有∠BDC=∠DAE,,
∴,
∴AE=,
当E在直线AD左侧时,设AE交y轴于P,作EQ⊥AC于Q,
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,
∴PD=PA,
设PD=n,
∴PO=3-n,PA=n,
在Rt△AOP中,PA2=OA2+OP2,
∴n2=(3-n)2+1,
∴n=,
∴PA=,PO=,
∵AE=,
∴PE=,
在AEQ中,OP∥EQ,
∴,
∴OQ=,
∵,
∴QE=2,
∴E(-,-2),
当E'在直线DA右侧时,
根据勾股定理得,AE=,
∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC,∠BDC=∠BDA,
∴∠BDA=∠DAE',
∴AE'∥OD,
∴E'(1,-),
综上,使得△BDC与△ADE相似(其中点C与E是对应顶点)的点E的坐标有4个,
即:(0,-)或(,-1)或(1,-)或(-,-2).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB上的一点,将△BCE沿CE折叠至△FCE,若CF,CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切,则折痕CE的长为 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“低碳环保,绿色出行”的概念得到广大群众的接受,越来越多的人喜欢选择骑自行车作为出行工具.小军和爸爸同时骑车去图书馆,爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间,休息了5分钟,再以米/分的速度到达图书馆.小军始终以同一速度骑行,两人骑行的路程为(米)与时间(分钟)的关系如图.请结合图象,解答下列问题:
(1)填空:______;______;______.
(2)求线段所在直线的解析式.
(3)若小军的速度是120米/分,求小军第二次与爸爸相遇时距图书馆的距离.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A(﹣2,0)和点B,交y轴于点C(0,3),点D是x轴上一动点,连接CD,将线段CD绕点D旋转得到DE,过点E作直线l⊥x轴,垂足为H,过点C作CF⊥l于F,连接DF.
(1)求抛物线解析式;
(2)若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90°得到,求线段DF的长;
(3)若线段DE是CD绕点D旋转90°得到,且点E恰好在抛物线上,请求出点E的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,四边形是矩形,点的坐标为,点的坐标为.点从点出发,沿以每秒1个单位长度的速度向点运动,同时点从点出发,沿以每秒2个单位长度的速度向点运动,当点与点重合时运动停止.设运动时间为秒.
(1)当时,线段的中点坐标为________;
(2)当与相似时,求的值;
(3)当时,抛物线经过、两点,与轴交于点,抛物线的顶点为,如图2所示.问该抛物线上是否存在点,使,若存在,求出所有满足条件的点坐标;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形中,是的中点,是延长线上的一点,.
求证;
阅读下列材料:
如图,把沿直线平行移动线段的长度,可以变到的位置;
如图,以为轴把翻折,可以变到的位置;
如图,以点为中心把旋转,可以变到的位置.
像这样,其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫做三角形的全等变换.
回答下列问题:
①在图中,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法使变到的位置,
答:________.
②指出图中,线段与之间的关系.
答:________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读下列材料,并完成任务. 三角形的外心定义:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个点叫做三角形的外心,如图1,直线分别是边的垂直平分线.
求证:直线相交于一点.
证明:如图2,设相交于点,分别连接
∵是的垂直平分线,
∴,(依据1)
∵是的垂直平分线,
∴,
∴,(依据2)
∵是的垂直平分线,
∴点在上,(依据3)
∴直线相交于一点.
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指什么?
(2)如图3,直线分别是的垂直平分线,直线相交于点,点 是的外心,交于点,交于点,分别连接、、、、. 若,的周长为,求的周长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某水果生产基地销售苹果,提供两种购买方式供客户选择
方式:若客户缴纳元会费加盟为生产基地合作单位,则苹果成交价为元千克.
方式:若客户购买数量达到或超过千克,则成交价为元千克;若客户购买数量不足千克,则成交价为元千克.设客户购买苹果数量为(千克),所需费用为(元).
(1)若客户按方式购买,请写出(元)与(千克)之间的函数表达式;(备注:按方式购买苹果所需费用生产基地合作单位会费苹果成交总价)
(2)如果购买数量超过千克,请说明客户选择哪种购买方式更省钱;
(3)若客户甲采用方式购买,客户乙采用方式购买,甲、乙共购买苹果千克,总费用共计元,则客户甲购买了多少千克苹果?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com