Question

13．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{4-2m}{x}$（x＞0）的图象交于点A（2，-4）和点B，与x轴交于点C，且$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求m的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）若在x轴上存在点P使得△PAB的周长最小，请求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线位于第四象限，比例系数k＜0，列式求解即可；
（2）先把点A的坐标代入反比例函数表达式求出m的值，从而的反比例函数解析式，设点B的坐标为B（x，y），利用相似三角形对应边成比例求出y的值，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，利用待定系数法求直线A′B的解析式，再得出点P的坐标．

解答 解：（1）根据题意，反比例函数图象位于第四象限，
∴4-2m＜0，
解得m＞2；

（2）∵点A（2，-4）在反比例函数图象上，
∴$\frac{4-2m}{2}$=-4，
解得m=6，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
设点B的坐标为（x，y），
则点B到x轴的距离为-y，点A到x轴的距离为4，
所以$\frac{-y}{4}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
解得y=-1，
∴-$\frac{8}{x}$=-1，
解得x=8，
∴点B的坐标是B（8，-1），
设这个一次函数的解析式为y=kx+b，
∵点A、B是一次函数与反比例函数图象的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{8k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式是y=$\frac{1}{2}$x-5，
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，设直线A′B的解析式为y=cx+d，
得$\left\{\begin{array}{l}{8c+d=-1}\\{2c+d=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{5}{6}}\\{d=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{17}{3}$，
∵点P在x轴上，∴P（$\frac{34}{5}$，0）．

点评 本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．