Question

已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；
（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．

Answer 1

分析：（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；
（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=

DF2+PD2

=

1+(3-PA)2

，求得PA=

5

3

．

解答：（1）证明：设AG交MN于O，则
∵A、G关于BM对称，
∴AO=GO，AG⊥MN．
∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，
∴AE=BE，AE∥DF且AE=DF，AD∥EF∥BC．
∴MO：ON=AO：OG=1：1．
∴MO=NO．
∴AG与MN互相平分且互相垂直．
∴四边形ANGM是菱形．

（2）解：连接AF，
∵AD∥EF∥BC，
∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC．
又∵EF⊥AB，AE=BE，
∴AF=BF，
∴∠AFE=∠EFB．
∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．
∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．
∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．
∴PA=PF．
∴在Rt△PFD中，根据勾股定理得：PA=PF=

DF2+PD2

=

1+(3-PA)2

，
解得：PA=

5

3

．

点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．