分析 延长AE交BC于点N,作NH⊥AD于点H,利用全等三角形证明D、E分别是AM和AN的中点,则MN即可求得,在直角△MNH中利用三角函数求得HM和HN的长,再在直角△AHN中利用勾股定理求得AH的长,则AB=AM=AH-MH求解.
解答 解:延长AE交BC于点N,作NH⊥AD于点H.
在直角△ABD和直角△MBD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠MBD}\\{BD=BD}\\{∠ADB=∠BDM=90°}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△MBD(ASA),
∴AD=DM,AB=BM,
同理,AE=EN,AN=2AE=7,
∴DE是△AMN的中位线,
∴MN=2DE=2×$\frac{3}{2}$=3,
又∵∠ABM=60°,AB=BM,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠AMB=60°,
∴∠NMH=∠AMB=60°,
∴在直角△MNH中,NH=MN•sin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,MH=MN•cos60°=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$.
在直角△ANH中,AH=$\sqrt{A{N}^{2}-H{N}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\frac{13}{2}$,
∴AM=AH-MH=$\frac{13}{2}-\frac{3}{2}$=5.
∴AB=AM=5.
故答案是:5.
点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,等腰三角形的判定与性质,熟记性质与定理并作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键.
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